human: Пожалуйста, пошагово вычисли производную данной математической функции, для написания которой используется LaTeX:
`$\frac{1}{2\sin^2{(2x-4\ln5)}}$`
gpt: Конечная производная данной функции равна:

$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2\sin^2{(2x-4\ln5)}}\right) = -\frac{4\cos{(2x-4\ln5)}}{2\sin^3{(2x-4\ln5)}}$

Шаг за шагом, чтобы вычислить производную этой функции, мы можем использовать следующие шаги:

Применим правило дифференцирования обратной функции:
$\frac{d}{dx}\sin^{-1}{u} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot\frac{du}{dx}$

Выразим функцию в виде композиции функций, используя замену $u=2x-4\ln5$:
$f(x) = \frac{1}{2\sin^2{(2x-4\ln5)}} = \frac{1}{2\sin^2{\left(\sin^{-1}{\frac{u}{2}}\right)}}$

Применим правило дифференцирования композиции функций:
$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)$

где $g(x) = 2x-4\ln5$.

Найдём производную функции $f(u)$:
$\frac{d}{du}f(u) = \frac{d}{du}\left(\frac{1}{2\sin^2{\left(\sin^{-1}{\frac{u}{2}}\right)}}\right) = -\frac{1}{2}\cdot\frac{d}{du}\left(\sin^{-2}{\left(\sin^{-1}{\frac{u}{2}}\right)}\right)$

Воспользуемся правилом дифференцирования обратной функции:
$\frac{d}{du}\sin^{-1}{\frac{u}{2}} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{4}}}\cdot\frac{d}{du}\left(\frac{u}{2}\right) = \frac{1}{\sqrt{4-u^2}}\cdot\frac{1}{2}$

Найдём производную функции $\sin^{-2}{v}$:
$\frac{d}{dv}\sin^{-2}{v} = -2\sin^{-3}{v}\cdot\cos{v}$

Подставим результаты шагов 5 и 6 в производную $f(u)$, используя замену $v = \sin^{-1}{\frac{u}{2}}$:
$\frac{d}{du}f(u) = -\frac{1}{2}\cdot\frac{d}{du}\sin^{-2}{\left(\sin^{-1}{\frac{u}{2}}\right)} = -\frac{1}{2}\cdot\left(-2\sin^{-3}{\left(\sin^{-1}{\frac{u}{2}}\right)}\cdot\cos{\left(\sin^{-1}{\frac{u}{2}}\right)}\right) = \frac{\cos{\left(\sin^{-1}{\frac{u
human: Теперь посчитай вторую производную этой же функции.
gpt
Для вычисления второй производной данной функции нужно продифференцировать ее первую производную.

Сначала найдем первую производную:

$$f'(x) = -\frac{4\cos{(2x - 4\ln5)}}{2\sin^3{(2x - 4\ln5)}} = -\frac{2\cos{(2x - 4\ln5)}}{\sin^3{(2x - 4\ln5)}}$$

Теперь продифференцируем первую производную:

$$f''(x) = \frac{d}{dx} \left(-\frac{2\cos{(2x - 4\ln5)}}{\sin^3{(2x - 4\ln5)}}\right)$$

Для этого воспользуемся правилом дифференцирования частного функций, а также цепным правилом дифференцирования. Получим:

$$f''(x) = \frac{6\cos^2{(2x - 4\ln5)} - 2\sin^2{(2x - 4\ln5)}}{\sin^4{(2x - 4\ln5)}}$$

Используя тригонометрические тождества, можно преобразовать эту формулу:

$$f''(x) = \frac{2\cos{(4x - 8\ln5)}}{\sin^4{(2x - 4\ln5)}} - \frac{6}{\sin^4{(2x - 4\ln5)}}$$

Таким образом, вторая производная данной функции равна $\frac{2\cos{(4x - 8\ln5)}}{\sin^4{(2x - 4\ln5)}} - \frac{6}{\sin^4{(2x - 4\ln5)}}$.