开普勒定律是什么？
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开普勒定律是约翰内斯·开普勒在17世纪初提出的，关于行星围绕太阳运动的三条定律。它们分别是：

1. **轨道定律**：每个行星绕太阳运动的轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。
2. **面积定律**：连接行星和太阳的直线在相等时间内扫过的面积相等。
3. **周期定律**：行星绕太阳公转周期的平方与其轨道半长轴的立方成正比。

这三条定律为后来牛顿的万有引力定律奠定了基础。
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开普勒定律的第三条定律的具体数学表达式是什么？
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开普勒第三定律的具体数学表达式为：

\[ T^2 \propto a^3 \]

其中：
- \( T \) 是行星绕太阳公转的周期（通常用年为单位）。
- \( a \) 是行星轨道的半长轴（通常用天文单位 AU 为单位）。

这个比例关系可以写成等式形式：

\[ \frac{T^2}{a^3} = \text{常数} \]

对于所有绕太阳运动的行星，这个常数是相同的。如果 \( T \) 用地球年表示， \( a \) 用天文单位表示，那么这个常数等于 1，即：

\[ \frac{T^2}{a^3} = 1 \]

这意味着：

\[ T^2 = a^3 \]

这个表达式简单地指出了行星的公转周期与其轨道半长轴之间的关系。
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为什么行星轨道是椭圆而不是圆形？
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行星轨道是椭圆而不是圆形，主要是因为太阳和行星之间的引力作用以及行星的初始条件。以下是主要原因：

1. **万有引力定律**：太阳和行星之间的引力遵循牛顿的万有引力定律，即引力大小与两物体质量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比。这种引力作用导致行星在运动过程中不断受到向心力的影响，使轨道弯曲。

2. **初始条件**：行星形成时的初始速度和位置决定了其轨道的形状。如果行星的初始速度和位置恰好使得它能够以圆形轨道绕太阳运动，那么它的轨道将是圆形。然而，实际情况中，行星的初始速度和位置往往不太可能恰好满足这一条件，导致轨道呈现椭圆形。

3. **能量和角动量守恒**：行星在太阳引力场中的运动遵循能量守恒和角动量守恒定律。这些守恒定律限制了行星轨道的形状。对于给定的总能量和角动量，行星的轨道可以是椭圆形，而圆形轨道只是椭圆的一种特殊情况。

综上所述，椭圆轨道是太阳引力和行星初始条件共同作用的结果，而圆形轨道只是特殊条件下的特例。
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