数学分析中的极限概念是如何形式化的？
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数学分析中的极限概念是在19世纪通过ε-δ定义形式化的。对于函数极限，如果当x趨向于a时，f(x)趋近于L，可以形式化为：对任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε。这个定义精确描述了f(x)在x接近a时趋近L的性质，避免了原先模糊的“无限接近”概念。对于数列的极限也有类似的形式化定义。这种形式化为现代分析学的严格性奠定了基础。
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狄利克雷函数是什么？
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狄利克雷函数是一个特殊的数学函数，定义为：

\[ D(x) = \begin{cases} 
1 & \text{如果 } x \text{ 是有理数} \\
0 & \text{如果 } x \text{ 是无理数}
\end{cases} \]

这个函数具有极不连续的特性，因为它在实数域上的每一个点都是不连续的。尽管有理数和无理数在实数线上处处稠密，但狄利克雷函数在任意区间内都会取到0和1两个值。这一特性使得狄利克雷函数成为了一个重要的反例，用来说明某些连续性和可积性条件的必要性。
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什么是整函数？
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整函数是复分析中的一个概念，指的是在复平面的每一点上都解析（即可以展开为幂级数）的函数。换句话说，整函数是整个复平面上都解析的复变函数。最典型的整函数包括多项式函数、指数函数 \(e^z\)、正弦函数 \(\sin(z)\) 和余弦函数 \(\cos(z)\) 等。整函数在整个复平面上都没有奇点，这使得它们具有非常良好的性质，如在任意有界闭合区域上都是有界的。
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