求一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的解的公式是什么？
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一元二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的解可以用求根公式表示为：
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
这里，\( \pm \) 表示方程有两个解，一个正号，一个负号。方程的解取决于判别式 \( b^2 - 4ac \) 的值：如果它大于0，方程有两个不同的实数解；如果等于0，方程有一个实数解（重根）；如果小于0，方程没有实数解，而是有一对共轭复数解。
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如何判断一个函数是否有反函数？
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一个函数有反函数当且仅当它是双射的，即同时满足单射（injective）和满射（surjective）两个条件：

1. **单射**（一对一）：函数 \( f \) 对于定义域中的任意两个不同的值 \( x_1 \) 和 \( x_2 \)，都有 \( f(x_1) \neq f(x_2) \)。这意味着函数不会将两个不同的输入映射到同一个输出。

2. **满射**（映上）：函数 \( f \) 的值域等于其到达域，即对于到达域中的每一个值 \( y \)，都存在定义域中的一个值 \( x \)，使得 \( f(x) = y \)。

在实际应用中，判断一个函数是否有反函数常常是通过水平线测试来进行的。具体来说，如果水平线与函数的图像相交于最多一个点，那么该函数是单射的。如果一个函数既满足水平线测试又满足垂直线测试（即每个垂直线与图像相交于最多一个点，这保证了函数的唯一性），那么该函数就是双射的，并且有反函数。
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函数 f(x) = x^3 - 2x + 1 是否有反函数？为什么？
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函数 \( f(x) = x^3 - 2x + 1 \) 是否有反函数，可以通过判断其是否为单射函数来决定。我们主要关注是否有水平线与函数图像相交于多于一个点的情况。

1. **计算函数的导数**：
   \[ f'(x) = 3x^2 - 2 \]

2. **分析导数的符号**：
   导数 \( f'(x) = 3x^2 - 2 \) 的零点为：
   \[ 3x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = \frac{2}{3} \implies x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} \]
   于是，导数在 \( x = -\sqrt{\frac{2}{3}} \) 和 \( x = \sqrt{\frac{2}{3}} \) 处变号。在 \( x < -\sqrt{\frac{2}{3}} \) 和 \( x > \sqrt{\frac{2}{3}} \) 区间内，导数为正；在 \( -\sqrt{\frac{2}{3}} < x < \sqrt{\frac{2}{3}} \) 区间内，导数为负。

3. **判断函数的单调性**：
   - 当 \( x < -\sqrt{\frac{2}{3}} \) 时， \( f(x) \) 单调增加。
   - 当 \( -\sqrt{\frac{2}{3}} < x < \sqrt{\frac{2}{3}} \) 时， \( f(x) \) 单调减少。
   - 当 \( x > \sqrt{\frac{2}{3}} \) 时， \( f(x) \) 单调增加。

由于 \( f(x) \) 在某些区间内是单调增加的，在另一些区间内是单调减少的，因此存在水平线与函数图像相交于多于一个点的情况。这说明 \( f(x) \) 不是单射的。

因此，函数 \( f(x) = x^3 - 2x + 1 \) **没有反函数**。
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