请告诉我有关分式线性变换的定义
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分式线性变换（也称为莫比乌斯变换）是一种复变函数，其一般形式为：

\[ f(z) = \frac{az + b}{cz + d} \]

其中 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) 是复数系数，且满足 \(ad - bc \neq 0\)，这样可以确保变换是一一对应的。这种变换在复分析、几何变换和对称性研究中具有重要应用。
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请再给出分式线性变换的一些重要性质
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分式线性变换具有以下重要性质：

1. **保角性**：分式线性变换在有限复平面上是保角的（即保持角度不变），除非它在某些点上的导数为零。

2. **保圆性**：它可以将圆映射为圆，包括直线可以看作是过无穷远点的圆。

3. **对称性**：分式线性变换可以从已知的对称点对推导出。如果 \(z_1\) 和 \(z_2\) 关于某个圆对称，那么 \(f(z_1)\) 和 \(f(z_2)\) 也会关于 \(f\) 映射下的那个圆对称。

4. **群性质**：所有分式线性变换构成一个群，满足封闭性、结合性、存在单位元（恒等变换）和逆元（每个变换都有唯一的逆变换）。

5. **复合性质**：两个分式线性变换的复合仍然是分式线性变换。

这些性质使得分式线性变换在复分析和几何中非常有用。
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请解释为什么分式线性变换可以保持角的度量不变
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分式线性变换可以保持角的度量不变，主要是因为其在复平面上的导数形式具有特殊性质。对于分式线性变换

\[ f(z) = \frac{az + b}{cz + d} \]

其导数 \( f'(z) \) 计算如下：

\[ f'(z) = \frac{a(cz + d) - (az + b)c}{(cz + d)^2} = \frac{ad - bc}{(cz + d)^2} \]

由于 \( ad - bc \neq 0 \)，导数 \( f'(z) \) 在除了可能的极点（即 \( cz + d = 0 \) 的点）之外的所有点上都不为零。

导数的模 \( |f'(z)| \) 表示变换 \( f \) 在点 \( z \) 处的局部伸缩率，而导数的辐角 \( \arg(f'(z)) \) 表示局部旋转角度。对于分式线性变换，导数的辐角 \( \arg(f'(z)) \) 在所有非极点处是常数，这意味着变换在每一点上都施加相同的旋转。

因此，对于任意两个复数 \( z_1 \) 和 \( z_2 \)，变换后的角度 \( \arg \left( \frac{f(z_1) - f(z_0)}{z_1 - z_0} \right) \) 与原来的角度 \( \arg \left( \frac{z_1 - z_0}{z_1 - z_0} \right) \) 相比，只相差一个常数角度（由 \( \arg(f'(z_0)) \) 决定），这就保证了角的度量在变换前后保持不变。
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