什么是中国余数定理？
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中国余数定理是数论中一个重要的定理，主要用于解决同余方程组的求解问题。它指出，如果给定一系列两两互质的正整数 \( n_1, n_2, \ldots, n_k \)，以及任意整数 \( a_1, a_2, \ldots, a_k \)，那么存在整数 \( x \) 满足以下同余方程组：
\[
\begin{aligned}
x &\equiv a_1 \pmod{n_1}, \\
x &\equiv a_2 \pmod{n_2}, \\
&\ \vdots \\
x &\equiv a_k \pmod{n_k}.
\end{aligned}
\]
此外，所有满足这些条件的 \( x \) 都在模 \( N \) 下同余，其中 \( N = n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k \)。这意味着解 \( x \) 是唯一的，且在模 \( N \) 内存在唯一解。这个定理在密码学、计算数论和组合数学等领域有重要应用。
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求解以下同余方程组：x ≡ 2 (mod 3)，x ≡ 3 (mod 5)，x ≡ 2 (mod 7)。
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要解同余方程组：
\[
\begin{aligned}
x &\equiv 2 \pmod{3}, \\
x &\equiv 3 \pmod{5}, \\
x &\equiv 2 \pmod{7},
\end{aligned}
\]
我们可以使用中国余数定理。

首先，计算 \( N \)：
\[
N = 3 \times 5 \times 7 = 105.
\]

接下来，计算每个 \( N_i \)：
\[
N_1 = \frac{N}{3} = 35, \quad N_2 = \frac{N}{5} = 21, \quad N_3 = \frac{N}{7} = 15.
\]

然后，我们需要找到每个 \( N_i \) 的模逆元 \( M_i \)，使得：
\[
\begin{aligned}
35M_1 &\equiv 1 \pmod{3}, \\
21M_2 &\equiv 1 \pmod{5}, \\
15M_3 &\equiv 1 \pmod{7}.
\end{aligned}
\]

解这些同余方程：
1. \( 35M_1 \equiv 1 \pmod{3} \)：
   \[
   35 \equiv 2 \pmod{3}, \quad 2M_1 \equiv 1 \pmod{3} \implies M_1 \equiv 2 \pmod{3}.
   \]
2. \( 21M_2 \equiv 1 \pmod{5} \)：
   \[
   21 \equiv 1 \pmod{5}, \quad 1M_2 \equiv 1 \pmod{5} \implies M_2 \equiv 1 \pmod{5}.
   \]
3. \( 15M_3 \equiv 1 \pmod{7} \)：
   \[
   15 \equiv 1 \pmod{7}, \quad 1M_3 \equiv 1 \pmod{7} \implies M_3 \equiv 1 \pmod{7}.
   \]

现在，利用这些逆元计算 \( x \)：
\[
x = a_1 N_1 M_1 + a_2 N_2 M_2 + a_3 N_3 M_3 \pmod{N}.
\]
代入已知值：
\[
\begin{aligned}
x &\equiv 2 \times 35 \times 2 + 3 \times 21 \times 1 + 2 \times 15 \times 1 \pmod{105}, \\
x &\equiv 2 \times 70 + 3 \times 21 + 2 \times 15 \pmod{105}, \\
x &\equiv 140 + 63 + 30 \pmod{105}, \\
x &\equiv 233 \pmod{105}, \\
x &\equiv 23 \pmod{105}.
\end{aligned}
\]

因此，解为：
\[
x \equiv 23 \pmod{105}.
\]
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给定一个二次方程 ax^2 + bx + c = 0，它的判别式Δ = b^2 - 4ac有何意义？
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判别式 \( \Delta = b^2 - 4ac \) 在二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 中具有重要的意义，它决定了方程的根的性质：

1. **当 \( \Delta > 0 \) 时**：
   - 方程有两个不相等的实数根。
   - 具体而言，方程的根可以用公式 \( x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \) 计算，其中 \( \sqrt{\Delta} \) 是一个正实数。

2. **当 \( \Delta = 0 \) 时**：
   - 方程有两个相等的实数根（也称为重根）。
   - 具体而言，方程的根为 \( x = \frac{-b}{2a} \)。

3. **当 \( \Delta < 0 \) 时**：
   - 方程没有实数根，但有两个共轭复数根。
   - 具体而言，方程的根可以用公式 \( x = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a} \) 计算，其中 \( i \) 是虚数单位，\( \sqrt{-\Delta} \) 是一个正实数。

判别式的值不仅帮助我们确定方程的根的性质，还在解方程和分析二次函数的图形时提供重要的信息。
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