你知道斐波那契数列吗？
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斐波那契数列是一个数列，其中每个数都是前两个数的和，通常从0和1开始。数列的前几项为：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144，依此类推。斐波那契数列在数学、自然界、计算机科学等领域有广泛的应用。
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怎么求解斐波那契数列的第n项？
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求解斐波那契数列的第n项有几种方法：

1. **递归方法**：直接根据定义，使用递归函数计算。这种方法时间复杂度较高，为O(2^n)。
   ```python
   def fibonacci(n):
       if n <= 1:
           return n
       return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)
   ```

2. **动态规划**：通过存储中间结果来减少重复计算，时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)或O(1)。
   ```python
   def fibonacci(n):
       if n <= 1:
           return n
       a, b = 0, 1
       for _ in range(2, n + 1):
           a, b = b, a + b
       return b
   ```

3. **矩阵快速幂**：利用矩阵乘法将时间复杂度降到O(log n)。
   ```python
   def fibonacci(n):
       def matrix_mult(A, B):
           return [[A[0][0] * B[0][0] + A[0][1] * B[1][0], A[0][0] * B[0][1] + A[0][1] * B[1][1]],
                   [A[1][0] * B[0][0] + A[1][1] * B[1][0], A[1][0] * B[0][1] + A[1][1] * B[1][1]]]

       def matrix_pow(matrix, n):
           result = [[1, 0], [0, 1]]  # 单位矩阵
           base = matrix
           while n:
               if n % 2 == 1:
                   result = matrix_mult(result, base)
               base = matrix_mult(base, base)
               n //= 2
           return result

       if n <= 1:
           return n
       return matrix_pow([[1, 1], [1, 0]], n - 1)[0][0]
   ```

这些方法各有优缺点，选择哪种方法取决于具体的应用场景和性能要求。
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动态规划中的空间复杂度为什么可以是O(1)?
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在动态规划求解斐波那契数列的第n项时，空间复杂度可以优化到O(1)的关键在于：我们只需要维护前两个数的状态，而不需要存储整个数列。

具体来说，我们只需要两个变量来存储当前项和前一项的值，通过不断更新这两个变量，就可以计算出第n项。这样，无论n的值多大，我们只需要常数级别的额外空间。

以下是一个示例代码，展示了如何在O(1)空间复杂度下计算斐波那契数列的第n项：

```python
def fibonacci(n):
    if n <= 1:
        return n
    a, b = 0, 1
    for _ in range(2, n + 1):
        a, b = b, a + b
    return b
```

在这个实现中，`a` 和 `b` 分别存储前一项和当前项的值。每次迭代时，`a` 更新为 `b`，`b` 更新为 `a + b`。通过这种方式，我们只需要两个变量，空间复杂度为O(1)。
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