李波和克莱有一个池塘。李波每天向池塘中添加一些鱼，先在周一加了30只鱼。到周末时，有20%的鱼死亡了。到了周日晚上，克莱清除了所有死鱼。如果池塘最初的鱼数为50，那么经克莱清理后，剩下多少条鱼？
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池塘初始有50条鱼。李波在周一加了30条鱼，所以总共有80条鱼。到周末时，20%的鱼死亡，即16条鱼死亡。克莱在周日晚上清除了所有死鱼，池塘中剩下的活鱼数量为80 - 16 = 64条。
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给定函数f(x) = x^2 + x - 2，x属于[-4, 8]，如何找到该函数的最小值？
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要找到函数 \( f(x) = x^2 + x - 2 \) 在区间 \([-4, 8]\) 上的最小值，可以按照以下步骤进行：

1. **求导**：先求函数的一阶导数。
   \[ f'(x) = 2x + 1 \]

2. **找临界点**：令导数等于0，找到可能的极值点。
   \[ 2x + 1 = 0 \]
   \[ x = -\frac{1}{2} \]

3. **判断临界点**：因为 \( f''(x) = 2 \)，\( f''(-\frac{1}{2}) = 2 > 0 \)，所以 \( x = -\frac{1}{2} \) 处是函数的极小值点。

4. **比较区间端点**：计算区间端点 \(-4\) 和 \(8\) 以及临界点 \(-\frac{1}{2}\) 的函数值。
   \[ f(-4) = (-4)^2 + (-4) - 2 = 16 - 4 - 2 = 10 \]
   \[ f(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) - 2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 2 = -\frac{9}{4} \]
   \[ f(8) = 8^2 + 8 - 2 = 64 + 8 - 2 = 70 \]

5. **确定最小值**：在这三个值中，最小值为 \(-\frac{9}{4}\)。

因此，函数 \( f(x) = x^2 + x - 2 \) 在区间 \([-4, 8]\) 上的最小值为 \(-\frac{9}{4}\)。
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如果给定条件函数内存在多个 indefinate integral，我们应该怎么办？比如 \( f(x) = \sin(x) + \cos(x) \)。
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当处理函数的不定积分时，比如 \( f(x) = \sin(x) + \cos(x) \)，我们需要对函数中的每一项分别求积分。不定积分的结果包含一个任意常数 \( C \)，因为导数运算会消除常数。

对于函数 \( f(x) = \sin(x) + \cos(x) \) 的不定积分，可以分别求解：

1. **对 \(\sin(x)\) 求积分**：
   \[
   \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C_1
   \]

2. **对 \(\cos(x)\) 求积分**：
   \[
   \int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C_2
   \]

3. **将两个积分结果相加**：
   \[
   \int (\sin(x) + \cos(x)) \, dx = -\cos(x) + \sin(x) + C
   \]
   其中 \( C = C_1 + C_2 \) 是一个新的任意常数。

因此，函数 \( f(x) = \sin(x) + \cos(x) \) 的不定积分是：
\[
\int (\sin(x) + \cos(x)) \, dx = -\cos(x) + \sin(x) + C
\]

总结一下，当你处理包含多项的函数的不定积分时，可以逐项求解，然后将结果相加，最后加上一个任意常数 \( C \)。
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