约瑟夫环问题是什么？
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约瑟夫环问题是一个经典的递归问题，描述如下：有 \( n \) 个人围成一个圈，从第一个人开始报数，每报到第 \( m \) 个人时，该人出列。然后从下一个人继续报数，直到所有人都出列为止。问题的目标是找出最后剩下的人的原始位置。解决这个问题的方法通常是通过递归或数学公式。
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约瑟夫环问题的递归公式是什么？怎么推导出来的？
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约瑟夫环问题的递归公式为：

\[ J(n, m) = (J(n-1, m) + m) \% n \]

其中，\( J(n, m) \) 表示在有 \( n \) 个人、每次跳过 \( m \) 个人时最后剩下的人的位置（编号从0开始）。

推导过程如下：

1. 假设在 \( n-1 \) 个人的情况下，最后剩下的人的位置是 \( J(n-1, m) \)。
2. 当有 \( n \) 个人时，每 \( m \) 个人去掉一个，剩下 \( n-1 \) 个人。我们需要找到这个位置在 \( n \) 个人中的对应位置。
3. 去掉第 \( m \) 个人后，原来的第 \( m+1 \) 个人变成了新的第 1 个人，原来的第 \( m+2 \) 个人变成了新的第 2 个人，以此类推。
4. 因此，原来 \( n-1 \) 个人中的位置 \( J(n-1, m) \) 在新的 \( n \) 个人中的位置需要加上 \( m \) 然后再取模 \( n \) 来得到。

公式就这样推导出来了。
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约瑟夫环问题的线性非递归解法是什么？
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约瑟夫环问题的线性非递归解法可以通过数学归纳法直接计算出最后剩下的人的位置。公式为：

\[ J(n, m) = (J(n-1, m) + m) \% n \]

非递归的线性解法是将这个递归公式展开为一个循环计算过程。具体步骤如下：

1. 初始化：设 \( J \) 为最后剩下的人的位置，初始值为 0，即 \( J = 0 \)。
2. 从 2 到 \( n \) 进行循环，每次更新 \( J \) 的值：
   \[ J = (J + m) \% i \]
   其中，\( i \) 是当前的循环变量。

最终 \( J \) 的值就是最后剩下的人的位置（编号从0开始）。这种解法的时间复杂度为 \( O(n) \)，比递归解法更为高效。
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