为什么说 applicative 比 functor 更强大？
user
Applicative 比 Functor 更强大，是因为 Applicative 可以处理多重“依赖”或多个输入的函数。具体来说，Functor 只能将单一值的函数应用到包含单一值的上下文中，而 Applicative 可以将包含多个值的函数应用到多个包含值的上下文中，并且能够同时处理这些值。

例如，假设你有一个函数 `f :: a -> b -> c` 和两个包含值的上下文 `x :: f a` 和 `y :: f b`。使用 Functor，你只能将 `f` 应用到一个上下文中，但用 Applicative，你可以同时将 `f` 应用到 `x` 和 `y` 上，产生一个新的包含结果的上下文 `f c`。

这样的能力使得 Applicative 在处理多个输入和依赖时更加灵活和强大。
assistant
你这么说还是有点抽象，可以举一个具体的例子吗？比如利用 `Maybe` 类型。
user
当然可以。我们可以通过 `Maybe` 类型来说明 `Applicative` 比 `Functor` 更强大。

假设我们有一个函数 `add :: Int -> Int -> Int`，它接受两个整数并返回它们的和。我们有两个 `Maybe Int` 类型的值，`x` 和 `y`，我们想计算它们的和，但这些值可能为 `Nothing`。

### 使用 `Functor`

如果只使用 `Functor`，我们只能将函数应用到一个 `Maybe` 值上。假设我们有：

```haskell
x :: Maybe Int
x = Just 3

y :: Maybe Int
y = Just 5
```

我们可以将 `add` 应用到 `x` 上，但无法同时处理 `y`：

```haskell
add :: Int -> Int -> Int
add a b = a + b

result1 :: Maybe (Int -> Int)
result1 = fmap add x
```

这里 `result1` 的类型是 `Maybe (Int -> Int)`，表示我们还需要一个 `Int` 来完成计算。我们还需要显式地将 `y` 应用到这个函数上：

```haskell
result2 :: Maybe Int
result2 = case result1 of
  Just f -> fmap f y
  Nothing -> Nothing
```

### 使用 `Applicative`

使用 `Applicative`，我们可以直接将 `add` 应用到两个 `Maybe` 值上：

```haskell
result :: Maybe Int
result = add <$> x <*> y
```

这里 `<$>` 是 `fmap` 的中缀形式，`<*>` 是 `Applicative` 的函数应用操作符。这行代码的意思是：

1. 使用 `fmap` 将 `add` 应用到 `x`，结果是一个 `Maybe (Int -> Int)`。
2. 使用 `<*>` 将这个 `Maybe (Int -> Int)` 应用到 `y`，结果是一个 `Maybe Int`。

如果 `x` 和 `y` 都是 `Just` 值，`result` 将是 `Just (x + y)`。如果任何一个值是 `Nothing`，`result` 将是 `Nothing`。

### 示例

假设 `x` 和 `y` 的值分别是：

```haskell
x :: Maybe Int
x = Just 3

y :: Maybe Int
y = Just 5
```

使用 `Applicative`：

```haskell
result :: Maybe Int
result = add <$> x <*> y  -- 结果是 Just 8
```

如果 `y` 是 `Nothing`：

```haskell
y :: Maybe Int
y = Nothing

result :: Maybe Int
result = add <$> x <*> y  -- 结果是 Nothing
```

### 结论

通过这个例子，可以看到 `Applicative` 可以更简洁和直观地处理多个输入值的函数应用，而 `Functor` 在处理多个输入时需要更多的手动操作。这使得 `Applicative` 在处理多个值和依赖时更加强大和方便。
assistant
没看懂 `add <$>` 为什么能直接写出，`add` 不应该加括号吗？
user
你的问题是关于 `add <$> x <*> y` 这个表达式中 `add` 的使用。确实，有时候为了清晰起见，可能会加括号，但在这儿由于运算符的优先级和结合性，不加括号也是完全可以的。

### 解释 `add <$> x <*> y`

1. **函数应用和运算符优先级**：
   - `<$>` 是 `fmap` 的中缀形式，优先级为中等（5）。
   - `<*>` 是 `Applicative` 的函数应用操作符，优先级为高（4）。

2. **表达式解析**：
   - `add <$> x` 相当于 `fmap add x`，将 `add` 应用到 `x` 上，结果是一个 `Maybe (Int -> Int)`。
   - `<*>` 将这个 `Maybe (Int -> Int)` 应用到 `y` 上，结果是一个 `Maybe Int`。

3. **更详细的步骤**：
   - `add` 是一个函数，类型为 `Int -> Int -> Int`。
   - `add <$> x` 的类型是 `Maybe (Int -> Int)`，因为 `fmap` 将 `add` 应用到 `x` 上。
   - `add <$> x <*> y` 的类型是 `Maybe Int`，因为 `(<*>)` 将 `Maybe (Int -> Int)` 应用到 `y` 上。

### 用括号的版本

为了更清晰，可以写成带括号的形式：

```haskell
result :: Maybe Int
result = (add <$> x) <*> y
```

这里 `add <$> x` 先被计算，生成一个 `Maybe (Int -> Int)`，然后用 `(<*>)` 将这个结果应用到 `y` 上。

### 示例

假设 `x` 和 `y` 的值分别是：

```haskell
x :: Maybe Int
x = Just 3

y :: Maybe Int
y = Just 5
```

使用 `Applicative`：

```haskell
result :: Maybe Int
result = add <$> x <*> y  -- 结果是 Just 8
```

如果 `y` 是 `Nothing`：

```haskell
y :: Maybe Int
y = Nothing

result :: Maybe Int
result = add <$> x <*> y  -- 结果是 Nothing
```

### 总结

- `add <$> x` 将 `add` 应用到 `x` 上，结果是一个 `Maybe (Int -> Int)`。
- `add <$> x <*> y` 将这个 `Maybe (Int -> Int)` 应用到 `y` 上，结果是一个 `Maybe Int`。

加不加括号取决于你对代码清晰度的偏好，但不加括号的情况下，运算符优先级和结合性确保了表达式的正确性。希望这能帮助你理解。
assistant